AYT MATEMATİK

Fonksiyonlar, Polinomlar, Logaritma, Diziler

📚 Mathability Academy - ÖSYM Tarzı Notlar

1. FONKSİYONLAR

1.1. Fonksiyon Tanımı ve Özellikleri

Temel Kavramlar

  • f: A → B fonksiyonu
  • Tanım Kümesi: A
  • Değer Kümesi: B
  • Görüntü Kümesi: f(A) ⊆ B

1.2. Fonksiyon Türleri

Özel Fonksiyonlar

  • Birebir: f(x₁) = f(x₂) ⇒ x₁ = x₂
  • Örten: f(A) = B
  • Bire-bir Örten: Birebir ve örten
  • Sabit: f(x) = c (hep aynı değer)
  • Birim (Özdeş): f(x) = x

1.3. Özel Fonksiyon Özellikleri

Simetri Özellikleri

  • Çift Fonksiyon: f(-x) = f(x) (y-eksenine göre simetrik)
  • Tek Fonksiyon: f(-x) = -f(x) (orijine göre simetrik)
  • Periyodik: f(x + T) = f(x) (T: periyot)

📝 Örnek 1 (ÖSYM Tarzı)

Soru: f(x) = 2x + 3 fonksiyonu birebir midir?

✓ Çözüm:

f(x₁) = f(x₂) olsun:
2x₁ + 3 = 2x₂ + 3
2x₁ = 2x₂
x₁ = x₂

Evet, birebir fonksiyondur.

1.4. Bileşke Fonksiyon

Bileşke

  • (fog)(x) = f(g(x))
  • Önce g sonra f uygulanır
  • (fog)(x) ≠ (gof)(x) (genelde)

📝 Örnek 2 (ÖSYM Tarzı)

Soru: f(x) = 2x + 1 ve g(x) = x² ise, (fog)(3) = ?

✓ Çözüm:

(fog)(x) = f(g(x))
= f(x²)
= 2(x²) + 1
= 2x² + 1

(fog)(3) = 2(3)² + 1
= 2(9) + 1
= 19

1.5. Ters Fonksiyon

Ters Fonksiyon

  • f⁻¹: B → A
  • (fof⁻¹)(x) = x
  • (f⁻¹of)(x) = x
  • Ters fonksiyon için birebir ve örten olmalı

📝 Örnek 3 (ÖSYM Tarzı)

Soru: f(x) = (3x - 5)/2 fonksiyonunun tersini bulunuz.

✓ Çözüm:

y = (3x - 5)/2
2y = 3x - 5
3x = 2y + 5
x = (2y + 5)/3

x ve y'yi değiştir:
f⁻¹(x) = (2x + 5)/3

2. POLİNOMLAR

2.1. Polinom Tanımı

n. Dereceden Polinom

  • P(x) = aₙxⁿ + aₙ₋₁xⁿ⁻¹ + ... + a₁x + a₀
  • aₙ ≠ 0 (baş katsayı)
  • Derece: En yüksek üs

2.2. Polinom Bölme

Bölme Algoritması

  • P(x) = B(x)·Q(x) + K(x)
  • P(x): Bölünen, B(x): Bölen
  • Q(x): Bölüm, K(x): Kalan
  • der(K) < der(B) veya K(x) = 0

2.3. Horner Yöntemi ve Kalan Teoremi

Kalan Teoremi

  • P(x) polinomu (x - a) ile bölünürse kalan: P(a)
  • P(a) = 0 ⇒ (x - a), P(x)'i tam böler
  • P(a) = 0 ⇒ a, P(x)'in köküdür

📝 Örnek 4 (ÖSYM Tarzı)

Soru: P(x) = x³ - 5x² + 7x - 3 polinomu (x - 2) ile bölündüğünde kalan?

✓ Çözüm:

Kalan Teoremi: Kalan = P(2)

P(2) = 2³ - 5(2)² + 7(2) - 3
= 8 - 20 + 14 - 3
= -1

Kalan = -1

2.4. Çarpanlara Ayırma

Önemli Özdeşlikler

  • a² - b² = (a - b)(a + b)
  • a³ + b³ = (a + b)(a² - ab + b²)
  • a³ - b³ = (a - b)(a² + ab + b²)
  • a² + 2ab + b² = (a + b)²
  • a² - 2ab + b² = (a - b)²

📝 Örnek 5 (ÖSYM Tarzı)

Soru: P(x) = x³ - 6x² + 11x - 6 polinomunun köklerini bulunuz.

✓ Çözüm:

Rasyonel kök adayları: ±1, ±2, ±3, ±6

P(1) = 1 - 6 + 11 - 6 = 0 ✓
(x - 1) çarpandır.

Horner ile bölme:
P(x) = (x - 1)(x² - 5x + 6)
= (x - 1)(x - 2)(x - 3)

Kökler: x = 1, 2, 3

2.5. Viète Formülleri

İkinci Derece: ax² + bx + c = 0

  • x₁ + x₂ = -b/a (Kökler Toplamı)
  • x₁·x₂ = c/a (Kökler Çarpımı)

📝 Örnek 6 (ÖSYM Tarzı - Viète)

Soru: x² - 7x + 10 = 0 denkleminin kökleri x₁ ve x₂ ise, x₁² + x₂² = ?

✓ Çözüm:

Viète'den:
x₁ + x₂ = 7
x₁·x₂ = 10

x₁² + x₂² = (x₁ + x₂)² - 2x₁x₂
= 7² - 2(10)
= 49 - 20
= 29

3. LOGARİTMA

3.1. Logaritma Tanımı

Temel Tanım

  • aˣ = b ⟺ logₐ(b) = x
  • a > 0, a ≠ 1 (taban)
  • b > 0 (sayı)
  • x ∈ ℝ (sonuç)

3.2. Logaritma Özellikleri

Temel Özellikler

  • logₐ(a) = 1
  • logₐ(1) = 0
  • logₐ(x·y) = logₐ(x) + logₐ(y)
  • logₐ(x/y) = logₐ(x) - logₐ(y)
  • logₐ(xⁿ) = n·logₐ(x)
  • aˡᵒᵍₐ⁽ˣ⁾ = x

3.3. Taban Değiştirme

Taban Değiştirme Formülü

  • logₐ(b) = logᶜ(b) / logᶜ(a)
  • logₐ(b) = 1 / logᵦ(a)
  • logₐ(b)·logᵦ(c) = logₐ(c)

📝 Örnek 7 (ÖSYM Tarzı)

Soru: log₂(8) + log₂(4) - log₂(16) = ?

✓ Çözüm:

= log₂(2³) + log₂(2²) - log₂(2⁴)
= 3·log₂(2) + 2·log₂(2) - 4·log₂(2)
= 3·1 + 2·1 - 4·1
= 3 + 2 - 4
= 1

📝 Örnek 8 (ÖSYM Tarzı - Taban Değiştirme)

Soru: log₃(27)·log₉(3) = ?

✓ Çözüm:

log₃(27) = log₃(3³) = 3

log₉(3) = 1/log₃(9) = 1/log₃(3²) = 1/2

Çarpım: 3·(1/2) = 3/2

3.4. Logaritmik Denklemler

📝 Örnek 9 (ÖSYM Tarzı)

Soru: log₂(x - 3) + log₂(x + 3) = 4 denklemini çözünüz.

✓ Çözüm:

log₂[(x - 3)(x + 3)] = 4
log₂(x² - 9) = 4
x² - 9 = 2⁴
x² - 9 = 16
x² = 25
x = ±5

Kontrol:
x = 5: (5-3)>0 ve (5+3)>0 ✓
x = -5: (-5-3)<0 ✗ (logaritma tanımsız)

Çözüm: x = 5

4. DİZİLER

4.1. Aritmetik Dizi

Aritmetik Dizi Formülleri

  • aₙ = a₁ + (n - 1)d
  • d = a₂ - a₁ (ortak fark)
  • Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2
  • Sₙ = n[2a₁ + (n-1)d]/2

📝 Örnek 10 (ÖSYM Tarzı)

Soru: 3, 7, 11, 15, ... aritmetik dizisinin 20. terimi?

✓ Çözüm:

a₁ = 3
d = 7 - 3 = 4

a₂₀ = a₁ + 19d
= 3 + 19(4)
= 3 + 76
= 79

4.2. Geometrik Dizi

Geometrik Dizi Formülleri

  • aₙ = a₁·rⁿ⁻¹
  • r = a₂/a₁ (ortak çarpan)
  • Sₙ = a₁(rⁿ - 1)/(r - 1) [r ≠ 1]
  • Sₙ = a₁(1 - rⁿ)/(1 - r) [r ≠ 1]

📝 Örnek 11 (ÖSYM Tarzı)

Soru: 2, 6, 18, 54, ... geometrik dizisinin 6. terimi?

✓ Çözüm:

a₁ = 2
r = 6/2 = 3

a₆ = a₁·r⁵
= 2·3⁵
= 2·243
= 486

4.3. Sonsuz Geometrik Dizi Toplamı

Sonsuz Toplam

  • |r| < 1 ise: S∞ = a₁/(1 - r)
  • |r| ≥ 1 ise toplam yok (ıraksak)

📝 Örnek 12 (ÖSYM Tarzı)

Soru: 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ... toplamı?

✓ Çözüm:

a₁ = 1
r = 1/2

|r| = 1/2 < 1 olduğundan toplam var:

S∞ = a₁/(1 - r)
= 1/(1 - 1/2)
= 1/(1/2)
= 2

5. KARMAŞIK SAYILAR (Temel)

5.1. Karmaşık Sayı Tanımı

Temel Kavramlar

  • i² = -1 (sanal birim)
  • z = a + bi (a: reel kısım, b: sanal kısım)
  • z̄ = a - bi (eşlenik)
  • |z| = √(a² + b²) (mutlak değer/modül)

5.2. Karmaşık Sayılarla İşlemler

Toplama ve Çarpma

  • (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i
  • (a + bi)·(c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i
  • z·z̄ = |z|² = a² + b²

📝 Örnek 13 (ÖSYM Tarzı)

Soru: z = 3 + 4i ise, |z| = ?

✓ Çözüm:

|z| = √(3² + 4²)
= √(9 + 16)
= √25
= 5

6. ZOR SORU STRATEJİLERİ

📝 Örnek 14 (Zor Soru - Bileşke Fonksiyon)

Soru: f(2x + 1) = 4x² + 4x + 3 ise, f(x) = ?

✓ Çözüm:

2x + 1 = t diyelim
x = (t - 1)/2

f(t) = 4[(t-1)/2]² + 4[(t-1)/2] + 3
= 4(t² - 2t + 1)/4 + 2(t - 1) + 3
= t² - 2t + 1 + 2t - 2 + 3
= t² + 2

f(x) = x² + 2

📝 Örnek 15 (Zor Soru - Logaritma)

Soru: log₂(x) + log₄(x) + log₈(x) = 11 ise, x = ?

✓ Çözüm:

Taban değiştirme ile hepsini log₂'ye çevirelim:

log₄(x) = log₂(x)/log₂(4) = log₂(x)/2
log₈(x) = log₂(x)/log₂(8) = log₂(x)/3

log₂(x) + log₂(x)/2 + log₂(x)/3 = 11

log₂(x)[1 + 1/2 + 1/3] = 11
log₂(x)[6/6 + 3/6 + 2/6] = 11
log₂(x)·(11/6) = 11
log₂(x) = 6

x = 2⁶ = 64

⚠️ Sık Yapılan Hatalar

• Bileşke fonksiyonda sırayı karıştırmak
• Ters fonksiyon bulurken x ve y'yi değiştirmeyi unutmak
• Logaritmada negatif sayıyı almaya çalışmak
• Dizilerde n ve (n-1) karışıklığı
• Geometrik dizide r = 1 özel durumunu unutmak

7. SINAV İPUÇLARI

🎯 Hızlı Kontrol Listesi

Fonksiyonlar:
• Birebir: farklı girdiler → farklı çıktılar
• Örten: tüm hedef küme kullanılır
• Bileşke: önce iç, sonra dış

Polinomlar:
• Kalan teoremi: P(a) = kalan
• Viète: toplam = -b/a, çarpım = c/a

Logaritma:
• log(xy) = log x + log y
• log(x/y) = log x - log y
• log(xⁿ) = n·log x

Diziler:
• Aritmetik: aₙ = a₁ + (n-1)d
• Geometrik: aₙ = a₁·rⁿ⁻¹

📚 Mathability Academy - 2026

Bu notlar ÖSYM sınav formatına uygun hazırlanmıştır.

Başarılar dileriz! 🎓