AYT MATEMATİK

Trigonometri

📚 Mathability Academy - ÖSYM Tarzı Notlar

1. TRİGONOMETRİK ORANLAR

1.1. Temel Trigonometrik Oranlar

Dik Üçgende Trigonometrik Oranlar

  • sin α = karşı/hipotenüs
  • cos α = komşu/hipotenüs
  • tan α = karşı/komşu = sin α/cos α
  • cot α = komşu/karşı = cos α/sin α = 1/tan α
  • sec α = 1/cos α
  • csc α = 1/sin α

1.2. Özel Açıların Trigonometrik Değerleri

0°, 30°, 45°, 60°, 90°

  • sin 0° = 0, cos 0° = 1, tan 0° = 0
  • sin 30° = 1/2, cos 30° = √3/2, tan 30° = 1/√3
  • sin 45° = √2/2, cos 45° = √2/2, tan 45° = 1
  • sin 60° = √3/2, cos 60° = 1/2, tan 60° = √3
  • sin 90° = 1, cos 90° = 0, tan 90° = tanımsız

1.3. Temel Özdeşlikler

Pisagor Bağıntıları

  • sin²α + cos²α = 1
  • 1 + tan²α = 1/cos²α = sec²α
  • 1 + cot²α = 1/sin²α = csc²α

📝 Örnek 1 (ÖSYM Tarzı)

Soru: sin α = 3/5 ve α dar açı ise, cos α = ?

✓ Çözüm:

sin²α + cos²α = 1
(3/5)² + cos²α = 1
9/25 + cos²α = 1
cos²α = 16/25

α dar açı olduğundan cos α > 0:
cos α = 4/5

2. TRİGONOMETRİK FONKSİYONLAR

2.1. Birim Çember ve Trigonometrik Fonksiyonlar

Birim Çember Tanımı

  • P(x,y) birim çember üzerinde bir nokta
  • cos α = x koordinatı
  • sin α = y koordinatı
  • x² + y² = 1

2.2. Negatif Açı Formülleri

Negatif Açı

  • sin(-α) = -sin α
  • cos(-α) = cos α
  • tan(-α) = -tan α

2.3. Tümler ve Bütünler Açı Formülleri

Tümler Açı (90° - α)

  • sin(90° - α) = cos α
  • cos(90° - α) = sin α
  • tan(90° - α) = cot α

Bütünler Açı (180° - α)

  • sin(180° - α) = sin α
  • cos(180° - α) = -cos α
  • tan(180° - α) = -tan α

📝 Örnek 2 (ÖSYM Tarzı)

Soru: sin 150° = ?

✓ Çözüm:

150° = 180° - 30°

sin(180° - 30°) = sin 30°
= 1/2

3. TOPLAM-FARK FORMÜLLERİ

3.1. Toplam Formülleri

İki Açının Toplamı

  • sin(α + β) = sin α cos β + cos α sin β
  • cos(α + β) = cos α cos β - sin α sin β
  • tan(α + β) = (tan α + tan β)/(1 - tan α tan β)

3.2. Fark Formülleri

İki Açının Farkı

  • sin(α - β) = sin α cos β - cos α sin β
  • cos(α - β) = cos α cos β + sin α sin β
  • tan(α - β) = (tan α - tan β)/(1 + tan α tan β)

📝 Örnek 3 (ÖSYM Tarzı)

Soru: sin 75° değerini bulunuz.

✓ Çözüm:

75° = 45° + 30°

sin(45° + 30°) = sin 45° cos 30° + cos 45° sin 30°
= (√2/2)(√3/2) + (√2/2)(1/2)
= √6/4 + √2/4
= (√6 + √2)/4

📝 Örnek 4 (ÖSYM Tarzı)

Soru: sin α = 3/5, cos β = 12/13 ve α, β dar açılar ise, sin(α + β) = ?

✓ Çözüm:

Önce cos α ve sin β'yi bulalım:

sin²α + cos²α = 1
9/25 + cos²α = 1
cos α = 4/5 (dar açı, pozitif)

sin²β + cos²β = 1
sin²β + 144/169 = 1
sin β = 5/13 (dar açı, pozitif)

sin(α + β) = sin α cos β + cos α sin β
= (3/5)(12/13) + (4/5)(5/13)
= 36/65 + 20/65
= 56/65

4. İKİ KAT AÇI FORMÜLLERİ

4.1. İki Kat Açı

2α Formülleri

  • sin 2α = 2 sin α cos α
  • cos 2α = cos²α - sin²α
  • cos 2α = 2cos²α - 1
  • cos 2α = 1 - 2sin²α
  • tan 2α = 2tan α/(1 - tan²α)

📝 Örnek 5 (ÖSYM Tarzı)

Soru: sin α = 5/13 ve 0 < α < 90° ise, sin 2α = ?

✓ Çözüm:

Önce cos α'yı bulalım:
sin²α + cos²α = 1
25/169 + cos²α = 1
cos α = 12/13

sin 2α = 2 sin α cos α
= 2(5/13)(12/13)
= 120/169

4.2. Yarım Açı Formülleri

α/2 Formülleri

  • sin²(α/2) = (1 - cos α)/2
  • cos²(α/2) = (1 + cos α)/2
  • tan(α/2) = sin α/(1 + cos α) = (1 - cos α)/sin α

5. TOPLAM-ÇARPIM FORMÜLLERİ

5.1. Toplamları Çarpıma Çevirme

Toplam → Çarpım

  • sin α + sin β = 2 sin[(α+β)/2] cos[(α-β)/2]
  • sin α - sin β = 2 cos[(α+β)/2] sin[(α-β)/2]
  • cos α + cos β = 2 cos[(α+β)/2] cos[(α-β)/2]
  • cos α - cos β = -2 sin[(α+β)/2] sin[(α-β)/2]

5.2. Çarpımları Toplama Çevirme

Çarpım → Toplam

  • sin α cos β = [sin(α+β) + sin(α-β)]/2
  • cos α sin β = [sin(α+β) - sin(α-β)]/2
  • cos α cos β = [cos(α+β) + cos(α-β)]/2
  • sin α sin β = [cos(α-β) - cos(α+β)]/2

📝 Örnek 6 (ÖSYM Tarzı)

Soru: sin 75° + sin 15° = ?

✓ Çözüm:

sin α + sin β = 2 sin[(α+β)/2] cos[(α-β)/2]

= 2 sin[(75°+15°)/2] cos[(75°-15°)/2]
= 2 sin 45° cos 30°
= 2(√2/2)(√3/2)
= 2 · √6/4
= √6/2

6. TRİGONOMETRİK DENKLEMLER

6.1. Temel Trigonometrik Denklemler

Genel Çözümler

  • sin x = sin α ⇒ x = α + k·360° veya x = 180° - α + k·360°
  • cos x = cos α ⇒ x = ±α + k·360°
  • tan x = tan α ⇒ x = α + k·180°
  • (k tamsayı)

📝 Örnek 7 (ÖSYM Tarzı)

Soru: 2 sin x - 1 = 0 denkleminin [0°, 360°) aralığındaki çözümleri?

✓ Çözüm:

2 sin x = 1
sin x = 1/2

sin 30° = 1/2 olduğundan:

x = 30° (I. bölge)
x = 180° - 30° = 150° (II. bölge)

Çözüm kümesi: {30°, 150°}

📝 Örnek 8 (ÖSYM Tarzı)

Soru: tan²x = 3 denkleminin [0°, 360°) aralığındaki çözümleri?

✓ Çözüm:

tan²x = 3
tan x = ±√3

tan x = √3:
x = 60° (I. bölge)
x = 60° + 180° = 240° (III. bölge)

tan x = -√3:
x = 120° (II. bölge)
x = 300° (IV. bölge)

Çözüm kümesi: {60°, 120°, 240°, 300°}

6.2. Karmaşık Trigonometrik Denklemler

📝 Örnek 9 (ÖSYM Tarzı - Zor)

Soru: 2 sin²x + sin x - 1 = 0 denkleminin [0°, 360°) aralığındaki çözümleri?

✓ Çözüm:

sin x = t diyelim:
2t² + t - 1 = 0

Çarpanlara ayıralım:
(2t - 1)(t + 1) = 0

t = 1/2 veya t = -1

sin x = 1/2:
x = 30° veya x = 150°

sin x = -1:
x = 270°

Çözüm kümesi: {30°, 150°, 270°}

7. TRİGONOMETRİDE ALAN

7.1. Üçgen Alan Formülleri

Alan Formülleri

  • A = (1/2)·a·b·sin C
  • A = (1/2)·a·c·sin B
  • A = (1/2)·b·c·sin A
  • (İki kenar ve aralarındaki açı biliniyorsa)

📝 Örnek 10 (ÖSYM Tarzı)

Soru: ABC üçgeninde AB = 6 cm, AC = 8 cm ve ∠A = 30° ise, üçgenin alanı kaç cm²'dir?

✓ Çözüm:

A = (1/2)·AB·AC·sin A
= (1/2)·6·8·sin 30°
= (1/2)·6·8·(1/2)
= 12 cm²

7.2. Sinüs Teoremi

Sinüs Teoremi

  • a/sin A = b/sin B = c/sin C = 2R
  • R: Çevrel çemberin yarıçapı

7.3. Kosinüs Teoremi

Kosinüs Teoremi

  • a² = b² + c² - 2bc·cos A
  • b² = a² + c² - 2ac·cos B
  • c² = a² + b² - 2ab·cos C

📝 Örnek 11 (ÖSYM Tarzı - Kosinüs Teoremi)

Soru: Bir üçgende a = 7, b = 5, c = 3 ise, cos C = ?

✓ Çözüm:

c² = a² + b² - 2ab·cos C
9 = 49 + 25 - 2·7·5·cos C
9 = 74 - 70·cos C
70·cos C = 65
cos C = 65/70 = 13/14

8. ZOR SORU STRATEJİLERİ

💡 Strateji 1: Özdeşlikleri Akıllıca Kullan

Karmaşık ifadelerde sin²α + cos²α = 1 ve diğer özdeşlikleri kullanarak sadeleştir.

📝 Örnek 12 (Zor Soru - ÖSYM Tarzı)

Soru: (sin⁴α + cos⁴α) / (sin²α + cos²α) = ?

✓ Çözüm:

Payda: sin²α + cos²α = 1

Pay'ı düzenleyelim:
sin⁴α + cos⁴α = (sin²α)² + (cos²α)²

a² + b² = (a + b)² - 2ab özdeşliğini kullanalım:
a = sin²α, b = cos²α

= (sin²α + cos²α)² - 2sin²α·cos²α
= 1 - 2sin²α·cos²α

İfade: (1 - 2sin²α·cos²α)/1 = 1 - 2sin²α·cos²α

sin 2α = 2 sin α cos α kullanarak:
sin²2α = 4sin²α·cos²α
sin²α·cos²α = sin²2α/4

= 1 - 2·(sin²2α/4)
= 1 - sin²2α/2
= 1 - (1 - cos 4α)/2
= 1 - 1/2 + cos 4α/2
= (1 + cos 4α)/2

💡 Strateji 2: Denklemlerde Değişken Değiştir

sin²x, sin x cinsinden ifadelerde sin x = t gibi değişken değiştirme yap. İkinci dereceden denklem haline gelir.

⚠️ Sık Yapılan Hatalar

• Özel açı değerlerini yanlış hatırlamak
• Toplam-fark formüllerinde işaretleri karıştırmak
• Trigonometrik denklemlerde tüm çözümleri bulmamak
• Bölge kontrolü yapmamak
• İki kat açı formülünü yanlış uygulamak

9. SINAV İPUÇLARI

🎯 AYT'de Sık Çıkan Trigonometri Soruları

1. Özdeşlikler: sin²α + cos²α = 1 ve türevleri
2. Toplam-Fark: sin(α ± β) ve cos(α ± β)
3. İki Kat Açı: sin 2α, cos 2α
4. Denklemler: Temel ve karmaşık trigonometrik denklemler
5. Alan: (1/2)ab sin C formülü

Hızlı Hatırlatma Tablosu

  • 30°: sin=1/2, cos=√3/2, tan=1/√3
  • 45°: sin=√2/2, cos=√2/2, tan=1
  • 60°: sin=√3/2, cos=1/2, tan=√3
  • sin(α+β): sinαcosβ + cosαsinβ
  • cos(α+β): cosαcosβ - sinαsinβ
  • sin 2α: 2 sinα cosα

📚 Mathability Academy - 2026

Bu notlar ÖSYM sınav formatına uygun hazırlanmıştır.

Başarılar dileriz! 🎓