AYT MATEMATİK

İntegral ve Uygulamaları

📚 Mathability Academy - ÖSYM Tarzı Notlar

1. BELİRSİZ İNTEGRAL

1.1. İntegral Tanımı

İntegral, türevin tersidir. f'(x) = g(x) ise ∫g(x)dx = f(x) + C

Temel İntegral Tanımı

  • ∫f(x)dx = F(x) + C
  • F'(x) = f(x) (F, f'nin ters türevidir)
  • C: İntegrasyon sabiti (keyfi sabit)

1.2. Temel İntegral Formülleri

Ezber İntegraller

  • ∫dx = x + C
  • ∫xⁿdx = xⁿ⁺¹/(n+1) + C (n ≠ -1)
  • ∫(1/x)dx = ln|x| + C
  • ∫eˣdx = eˣ + C
  • ∫aˣdx = aˣ/ln(a) + C
  • ∫sin(x)dx = -cos(x) + C
  • ∫cos(x)dx = sin(x) + C
  • ∫(1/cos²x)dx = tan(x) + C
  • ∫(1/sin²x)dx = -cot(x) + C

1.3. İntegral Alma Kuralları

İşlem Özellikleri

  • ∫[f(x) ± g(x)]dx = ∫f(x)dx ± ∫g(x)dx
  • ∫k·f(x)dx = k·∫f(x)dx (k sabit)
  • ∫[af(x) + bg(x)]dx = a∫f(x)dx + b∫g(x)dx

📝 Örnek 1 (ÖSYM Tarzı)

Soru: ∫(3x² - 4x + 5)dx = ?

✓ Çözüm:

= ∫3x²dx - ∫4xdx + ∫5dx
= 3·x³/3 - 4·x²/2 + 5x + C
= x³ - 2x² + 5x + C

1.4. Değişken Değiştirme (u-Substitution)

Değişken Değiştirme Kuralı

  • ∫f(g(x))·g'(x)dx = ∫f(u)du
  • u = g(x) dersek, du = g'(x)dx

📝 Örnek 2 (ÖSYM Tarzı - Değişken Değiştirme)

Soru: ∫(2x + 3)⁵dx = ?

✓ Çözüm:

u = 2x + 3 diyelim
du = 2dx → dx = du/2

∫u⁵·(du/2) = (1/2)∫u⁵du
= (1/2)·u⁶/6 + C
= u⁶/12 + C
= (2x + 3)⁶/12 + C

📝 Örnek 3 (ÖSYM Tarzı)

Soru: ∫x·sin(x²)dx = ?

✓ Çözüm:

u = x² diyelim
du = 2x·dx → x·dx = du/2

∫sin(u)·(du/2) = (1/2)∫sin(u)du
= (1/2)·[-cos(u)] + C
= -cos(u)/2 + C
= -cos(x²)/2 + C

2. BELİRLİ İNTEGRAL

2.1. Belirli İntegral Tanımı

Belirli İntegral

  • ∫ₐᵇ f(x)dx = F(b) - F(a)
  • F'(x) = f(x) olmak üzere
  • a: alt sınır, b: üst sınır

2.2. Belirli İntegral Özellikleri

Önemli Özellikler

  • ∫ₐᵇ f(x)dx = -∫ᵇₐ f(x)dx
  • ∫ₐᵃ f(x)dx = 0
  • ∫ₐᵇ f(x)dx + ∫ᵇᶜ f(x)dx = ∫ₐᶜ f(x)dx
  • ∫ₐᵇ k·f(x)dx = k·∫ₐᵇ f(x)dx
  • ∫ₐᵇ [f(x) ± g(x)]dx = ∫ₐᵇ f(x)dx ± ∫ₐᵇ g(x)dx

📝 Örnek 4 (ÖSYM Tarzı)

Soru: ∫₁³ (2x + 1)dx = ?

✓ Çözüm:

Önce belirsiz integrali bulalım:
∫(2x + 1)dx = x² + x + C

Belirli integral:
[x² + x]₁³ = (3² + 3) - (1² + 1)
= (9 + 3) - (1 + 1)
= 12 - 2
= 10

📝 Örnek 5 (ÖSYM Tarzı)

Soru: ∫₀^(π/2) sin(x)dx = ?

✓ Çözüm:

∫sin(x)dx = -cos(x) + C

[-cos(x)]₀^(π/2) = -cos(π/2) - [-cos(0)]
= -0 - (-1)
= 0 + 1
= 1

2.3. Simetrik Aralıkta İntegral

Simetri Özellikleri

  • f(x) çift fonksiyon ise: ∫₋ₐᵃ f(x)dx = 2∫₀ᵃ f(x)dx
  • f(x) tek fonksiyon ise: ∫₋ₐᵃ f(x)dx = 0
  • Çift fonksiyon: f(-x) = f(x)
  • Tek fonksiyon: f(-x) = -f(x)

📝 Örnek 6 (ÖSYM Tarzı - Simetri)

Soru: ∫₋₂² x³dx = ?

✓ Çözüm:

f(x) = x³ tek fonksiyondur çünkü:
f(-x) = (-x)³ = -x³ = -f(x)

Simetrik aralıkta tek fonksiyonun integrali:
∫₋₂² x³dx = 0

3. ALAN HESAPLAMA

3.1. Eğri Altında Kalan Alan

Alan Formülleri

  • x-ekseni üstünde: A = ∫ₐᵇ f(x)dx
  • x-ekseni altında: A = |∫ₐᵇ f(x)dx|
  • Genel: A = ∫ₐᵇ |f(x)|dx

📝 Örnek 7 (ÖSYM Tarzı)

Soru: f(x) = x² eğrisi ile x-ekseni arasında x = 0 ve x = 2 aralığındaki alan?

✓ Çözüm:

Alan = ∫₀² x²dx

= [x³/3]₀²
= 2³/3 - 0³/3
= 8/3 birim kare

3.2. İki Eğri Arasındaki Alan

İki Eğri Arası Alan

  • A = ∫ₐᵇ [f(x) - g(x)]dx
  • f(x) ≥ g(x) olmak üzere [a,b] aralığında
  • Üstteki fonksiyon - Alttaki fonksiyon

📝 Örnek 8 (ÖSYM Tarzı)

Soru: f(x) = x² ve g(x) = x eğrileri arasındaki alan?

✓ Çözüm:

Önce kesişim noktalarını bulalım:
x² = x → x² - x = 0 → x(x - 1) = 0
x = 0 veya x = 1

[0,1] aralığında x ≥ x² (doğru x'in üstte)

Alan = ∫₀¹ (x - x²)dx
= [x²/2 - x³/3]₀¹
= (1/2 - 1/3) - (0 - 0)
= 3/6 - 2/6
= 1/6 birim kare

📝 Örnek 9 (ÖSYM Tarzı - Mutlak Değerli)

Soru: f(x) = x - 1 eğrisi ile x-ekseni arasında x = 0 ve x = 3 aralığındaki alan?

✓ Çözüm:

f(x) = x - 1 = 0 → x = 1 (kök)

[0,1] aralığında f(x) < 0 (eksenin altında)
[1,3] aralığında f(x) > 0 (eksenin üstünde)

Alan = |∫₀¹ (x-1)dx| + ∫₁³ (x-1)dx

A₁ = |[x²/2 - x]₀¹| = |(1/2 - 1) - 0| = |-1/2| = 1/2

A₂ = [x²/2 - x]₁³ = (9/2 - 3) - (1/2 - 1)
= 3/2 - (-1/2) = 3/2 + 1/2 = 2

Toplam Alan = 1/2 + 2 = 5/2 birim kare

4. HACİM HESAPLAMA

4.1. Dönel Cisimler (x-ekseni Etrafında)

Dönel Cisim Hacmi

  • V = π∫ₐᵇ [f(x)]²dx
  • x-ekseni etrafında döndürme

📝 Örnek 10 (ÖSYM Tarzı)

Soru: f(x) = x eğrisinin x = 0 ve x = 2 arasındaki kısmı x-ekseni etrafında döndürülürse oluşan cismin hacmi?

✓ Çözüm:

V = π∫₀² x²dx

= π[x³/3]₀²
= π(8/3 - 0)
= 8π/3 birim küp

📝 Örnek 11 (ÖSYM Tarzı)

Soru: f(x) = √x eğrisinin x = 0 ve x = 4 arasındaki kısmının x-ekseni etrafında dönmesiyle oluşan cismin hacmi?

✓ Çözüm:

V = π∫₀⁴ (√x)²dx
= π∫₀⁴ x·dx

= π[x²/2]₀⁴
= π(16/2 - 0)
= π·8
= 8π birim küp

5. FİZİK UYGULAMALARI

5.1. Yol - Hız - İvme İlişkisi

Kinematik Formüller

  • Hız: v(t) = s'(t)
  • İvme: a(t) = v'(t) = s''(t)
  • Yol: s(t) = ∫v(t)dt
  • Hız: v(t) = ∫a(t)dt
  • Gidilen Mesafe: ∫ₐᵇ |v(t)|dt

📝 Örnek 12 (ÖSYM Tarzı - Yol)

Soru: Bir hareketlinin hızı v(t) = 3t² - 6t m/s ise, t = 0'dan t = 3'e kadar aldığı yol kaç metredir? (s(0) = 0)

✓ Çözüm:

s(t) = ∫v(t)dt = ∫(3t² - 6t)dt
s(t) = t³ - 3t² + C

s(0) = 0 → 0 - 0 + C = 0 → C = 0
s(t) = t³ - 3t²

DİKKAT: Yön değişimi kontrol edelim:
v(t) = 0 → 3t² - 6t = 0 → t(t - 2) = 0
t = 0 veya t = 2

[0,2]: v < 0 (geri gidiyor)
[2,3]: v > 0 (ileri gidiyor)

s(2) = 8 - 12 = -4 m
s(3) = 27 - 27 = 0 m

Mesafe: |0 - (-4)| + |0 - (-4)| = 4 + 4 = 8 m

5.2. İş - Kuvvet İlişkisi

İş Formülü

  • W = ∫ₐᵇ F(x)dx
  • F(x): Kuvvet fonksiyonu
  • W: Yapılan iş (Joule)

6. ZOR SORU STRATEJİLERİ

💡 Strateji 1: Alan Sorularında Grafiği Çiz

Alan soruları için mutlaka fonksiyonların grafiğini taslak olarak çiz. Hangi fonksiyon üstte, kesişim noktaları nerede anlamak çok önemli.

📝 Örnek 13 (Zor Soru - ÖSYM Tarzı)

Soru: f(x) = sin(x) ve g(x) = cos(x) fonksiyonları arasında [0, π/2] aralığındaki alan?

✓ Çözüm:

Kesişim: sin(x) = cos(x) → tan(x) = 1 → x = π/4

[0, π/4]: cos(x) > sin(x) → cos üstte
[π/4, π/2]: sin(x) > cos(x) → sin üstte

A = ∫₀^(π/4) [cos(x) - sin(x)]dx + ∫_(π/4)^(π/2) [sin(x) - cos(x)]dx

A₁ = [sin(x) + cos(x)]₀^(π/4)
= (√2/2 + √2/2) - (0 + 1)
= √2 - 1

A₂ = [-cos(x) - sin(x)]_(π/4)^(π/2)
= (0 - 1) - (-√2/2 - √2/2)
= -1 + √2
= √2 - 1

Toplam Alan = 2(√2 - 1) = 2√2 - 2 birim kare

📝 Örnek 14 (Zor Soru - ÖSYM Tarzı)

Soru: ∫₀¹ x·e^(x²)dx = ?

✓ Çözüm:

u = x² diyelim
du = 2x·dx → x·dx = du/2

Sınırlar:
x = 0 → u = 0
x = 1 → u = 1

∫₀¹ e^u·(du/2) = (1/2)[e^u]₀¹
= (1/2)(e¹ - e⁰)
= (1/2)(e - 1)
= (e - 1)/2

💡 Strateji 2: Değişken Değiştirmede Sınırları Güncelle

Belirli integralde değişken değiştirirken ya:
1. Sınırları yeni değişkene göre güncelle, VEYA
2. Sonunda eski değişkene geri dön ve eski sınırları kullan

📝 Örnek 15 (Zor Soru - ÖSYM Tarzı)

Soru: ∫₁⁴ √x/(x + 4√x + 3)dx = ?

✓ Çözüm:

u = √x diyelim → x = u²
dx = 2u·du

Sınırlar:
x = 1 → u = 1
x = 4 → u = 2

= ∫₁² u/(u² + 4u + 3)·2u·du
= ∫₁² 2u²/(u² + 4u + 3)du

Payda: u² + 4u + 3 = (u + 1)(u + 3)

Uzun bölme veya kısmi kesir yöntemiyle:
2u²/(u² + 4u + 3) = 2 - (8u + 6)/(u² + 4u + 3)

(Bu nokta sonrası kısmi kesirler ve logaritma işlemleri devam eder)

⚠️ Sık Yapılan Hatalar

• Belirsiz integralde +C sabitini unutmak
• Belirli integralde sınırları ters yazmak
• Alan hesabında negatif kısmı dikkate almamak
• İki eğri arasında hangisinin üstte olduğunu karıştırmak
• Değişken değiştirmede dx'i dönüştürmeyi unutmak
• Dönel cisim hacminde π'yi unutmak

7. SINAV İPUÇLARI

🎯 AYT'de Sık Çıkan İntegral Soruları

1. Belirsiz İntegral: Temel formüller ve değişken değiştirme
2. Belirli İntegral: Hesaplama ve özellikler
3. Alan Hesabı: Eğri altı ve iki eğri arası (çok önemli!)
4. Hacim: Dönel cisimler
5. Fizik: Yol-hız-ivme problemleri

Hızlı Kontrol Listesi

  • ✓ Belirsiz integralde +C var mı?
  • ✓ Belirli integralde sınırlar doğru mu?
  • ✓ Alan negatifse mutlak değer aldın mı?
  • ✓ İki eğri arasında üstteki - alttaki yaptın mı?
  • ✓ Değişken değiştirmede dx'i çevirdin mi?
  • ✓ Hacimde π var mı?
  • ✓ Simetri kontrolü yaptın mı?

💡 Zaman Kazanma İpuçları

• Simetrik aralıkta tek/çift fonksiyon özelliğini kullan
• Alan sorularında önce kesişim noktalarını bul
• Değişken değiştirmede u'yu akıllıca seç (türevi varsa)
• Polinomları çarpanlara ayırarak basitleştir
• Trigonometrik özdeşlikleri hatırla

📚 Mathability Academy - 2026

Bu notlar ÖSYM sınav formatına uygun hazırlanmıştır.

Başarılar dileriz! 🎓