AYT MATEMATİK

Türev ve Uygulamaları

📚 Mathability Academy - ÖSYM Tarzı Notlar

1. TÜREV KAVRAMI

1.1. Türev Tanımı

Temel Türev Tanımı

  • f'(x) = lim(h→0) [f(x+h) - f(x)]/h
  • f'(a) = lim(x→a) [f(x) - f(a)]/(x - a)
  • dy/dx = f'(x) (Leibniz gösterimi)

1.2. Temel Türev Formülleri

Ezber Türevler

  • (c)' = 0 (sabit)
  • (xⁿ)' = n·xⁿ⁻¹
  • (sin x)' = cos x
  • (cos x)' = -sin x
  • (tan x)' = 1/cos²x = sec²x
  • (cot x)' = -1/sin²x = -csc²x
  • (eˣ)' = eˣ
  • (aˣ)' = aˣ·ln a
  • (ln x)' = 1/x
  • (logₐ x)' = 1/(x·ln a)
  • (√x)' = 1/(2√x)

1.3. Türev Alma Kuralları

İşlem Kuralları

  • Toplam/Fark: [f(x) ± g(x)]' = f'(x) ± g'(x)
  • Sabit Çarpan: [k·f(x)]' = k·f'(x)
  • Çarpım: [f(x)·g(x)]' = f'(x)·g(x) + f(x)·g'(x)
  • Bölüm: [f(x)/g(x)]' = [f'(x)·g(x) - f(x)·g'(x)]/[g(x)]²
  • Zincir Kuralı: [f(g(x))]' = f'(g(x))·g'(x)

📝 Örnek 1 (ÖSYM Tarzı)

Soru: f(x) = 3x⁴ - 5x² + 7x - 2 ise f'(x) = ?

✓ Çözüm:

f'(x) = 3·4x³ - 5·2x + 7 - 0
f'(x) = 12x³ - 10x + 7

📝 Örnek 2 (ÖSYM Tarzı - Çarpım Kuralı)

Soru: f(x) = (2x + 1)(x² - 3) ise f'(2) = ?

✓ Çözüm:

Çarpım kuralı: [u·v]' = u'·v + u·v'

u = 2x + 1 → u' = 2
v = x² - 3 → v' = 2x

f'(x) = 2(x² - 3) + (2x + 1)(2x)
f'(x) = 2x² - 6 + 4x² + 2x
f'(x) = 6x² + 2x - 6

f'(2) = 6(4) + 2(2) - 6
f'(2) = 24 + 4 - 6
f'(2) = 22

📝 Örnek 3 (ÖSYM Tarzı - Bölüm Kuralı)

Soru: f(x) = (x² + 1)/(x - 2) ise f'(x) = ?

✓ Çözüm:

Bölüm kuralı: [u/v]' = (u'·v - u·v')/v²

u = x² + 1 → u' = 2x
v = x - 2 → v' = 1

f'(x) = [2x(x - 2) - (x² + 1)(1)]/(x - 2)²
f'(x) = [2x² - 4x - x² - 1]/(x - 2)²
f'(x) = [x² - 4x - 1]/(x - 2)²

2. ZİNCİR KURALI VE BİLEŞKE FONKSİYON TÜREVİ

2.1. Zincir Kuralı

Zincir Kuralı Formülü

  • [f(g(x))]' = f'(g(x))·g'(x)
  • Dış fonksiyonun türevi × İç fonksiyonun türevi

📝 Örnek 4 (ÖSYM Tarzı - Zincir Kuralı)

Soru: f(x) = (3x² - 5)⁷ ise f'(x) = ?

✓ Çözüm:

Dış fonksiyon: u⁷ → türevi: 7u⁶
İç fonksiyon: 3x² - 5 → türevi: 6x

f'(x) = 7(3x² - 5)⁶ · 6x
f'(x) = 42x(3x² - 5)⁶

📝 Örnek 5 (ÖSYM Tarzı - Trigonometrik)

Soru: f(x) = sin(2x² + 3x) ise f'(x) = ?

✓ Çözüm:

Dış fonksiyon: sin(u) → türevi: cos(u)
İç fonksiyon: 2x² + 3x → türevi: 4x + 3

f'(x) = cos(2x² + 3x) · (4x + 3)
f'(x) = (4x + 3)cos(2x² + 3x)

📝 Örnek 6 (ÖSYM Tarzı - Üstel)

Soru: f(x) = e^(x² - 4x) ise f'(x) = ?

✓ Çözüm:

(eᵘ)' = eᵘ · u'

u = x² - 4x → u' = 2x - 4

f'(x) = e^(x² - 4x) · (2x - 4)
f'(x) = (2x - 4)e^(x² - 4x)

📝 Örnek 7 (ÖSYM Tarzı - Logaritma)

Soru: f(x) = ln(x³ + 2x - 1) ise f'(x) = ?

✓ Çözüm:

(ln u)' = u'/u

u = x³ + 2x - 1 → u' = 3x² + 2

f'(x) = (3x² + 2)/(x³ + 2x - 1)

3. TÜREVIN GEOMETRİK YORUMU

3.1. Teğet Doğrusu

Teğet Doğrusu Denklemi

  • Eğim: m = f'(a)
  • Teğet: y - f(a) = f'(a)(x - a)
  • Normal: y - f(a) = -1/f'(a) · (x - a)

📝 Örnek 8 (ÖSYM Tarzı)

Soru: f(x) = x² - 3x + 2 eğrisinin x = 2 noktasındaki teğet doğrusunun denklemi?

✓ Çözüm:

f(2) = 4 - 6 + 2 = 0
Nokta: (2, 0)

f'(x) = 2x - 3
f'(2) = 4 - 3 = 1
Eğim: m = 1

Teğet denklemi:
y - 0 = 1(x - 2)
y = x - 2

3.2. Artan-Azalan Fonksiyonlar

Monotonluk

  • f'(x) > 0 ⇒ f artan
  • f'(x) < 0 ⇒ f azalan
  • f'(x) = 0 ⇒ kritik nokta (max/min/dönüm)

📝 Örnek 9 (ÖSYM Tarzı)

Soru: f(x) = x³ - 3x² - 9x + 5 fonksiyonunun artan olduğu aralıkları bulunuz.

✓ Çözüm:

f'(x) = 3x² - 6x - 9
f'(x) = 3(x² - 2x - 3)
f'(x) = 3(x - 3)(x + 1)

Kritik noktalar: x = -1 ve x = 3

İşaret tablosu:
x < -1: f'(x) > 0 (artan)
-1 < x < 3: f'(x) < 0 (azalan)
x > 3: f'(x) > 0 (artan)

Artan: (-∞, -1) ∪ (3, ∞)

3.3. Ekstremum Noktaları (Yerel Maksimum-Minimum)

Ekstremum Şartları

  • 1. Şart: f'(a) = 0 (kritik nokta)
  • 2. Şart (Birinci Türev Testi):
  •   • f' işaret değiştiriyorsa ekstremum
  •   • (+) → (-) ise maksimum
  •   • (-) → (+) ise minimum

📝 Örnek 10 (ÖSYM Tarzı)

Soru: f(x) = x³ - 6x² + 9x + 1 fonksiyonunun yerel maksimum ve minimum noktalarını bulunuz.

✓ Çözüm:

f'(x) = 3x² - 12x + 9
f'(x) = 3(x² - 4x + 3)
f'(x) = 3(x - 1)(x - 3)

Kritik noktalar: x = 1 ve x = 3

İşaret tablosu:
x < 1: f'(x) > 0
1 < x < 3: f'(x) < 0
x > 3: f'(x) > 0

x = 1: (+) → (-) ⇒ Yerel Maksimum
f(1) = 1 - 6 + 9 + 1 = 5

x = 3: (-) → (+) ⇒ Yerel Minimum
f(3) = 27 - 54 + 27 + 1 = 1

4. İKİNCİ TÜREV VE UYGULAMALARI

4.1. İkinci Türev

İkinci Türev Tanımı

  • f''(x) = [f'(x)]'
  • d²y/dx² = f''(x)

4.2. Konvekslik (Çukurluk-Dışbükeylik)

Konvekslik Şartları

  • f''(x) > 0 ⇒ Konkav (çukur, ∪)
  • f''(x) < 0 ⇒ Konveks (dışbükey, ∩)
  • f''(x) = 0 ⇒ Olası büküm noktası

4.3. İkinci Türev Testi (Ekstremum)

İkinci Türev Testi

  • f'(a) = 0 ve f''(a) > 0 ⇒ Minimum
  • f'(a) = 0 ve f''(a) < 0 ⇒ Maksimum
  • f'(a) = 0 ve f''(a) = 0 ⇒ Test sonuç vermez

📝 Örnek 11 (ÖSYM Tarzı)

Soru: f(x) = x⁴ - 4x³ fonksiyonunun ekstremum noktalarını ikinci türev testiyle bulunuz.

✓ Çözüm:

f'(x) = 4x³ - 12x²
f'(x) = 4x²(x - 3)

Kritik noktalar: x = 0 ve x = 3

f''(x) = 12x² - 24x
f''(x) = 12x(x - 2)

x = 0 için:
f''(0) = 0 → Test sonuç vermez
(Birinci türev testiyle kontrol edilmeli)

x = 3 için:
f''(3) = 12·3·1 = 36 > 0 → Minimum
f(3) = 81 - 108 = -27

5. TÜREVLE İLGİLİ PROBLEMLER

5.1. Hız ve İvme

Fizik Uygulamaları

  • Konum: s(t)
  • Hız: v(t) = s'(t)
  • İvme: a(t) = v'(t) = s''(t)

📝 Örnek 12 (ÖSYM Tarzı - Hız Problemi)

Soru: Bir hareketlinin konum fonksiyonu s(t) = t³ - 6t² + 9t (m) ise, t = 2 anındaki hızı kaç m/s'dir?

✓ Çözüm:

Hız = v(t) = s'(t)

v(t) = 3t² - 12t + 9
v(2) = 3(4) - 12(2) + 9
v(2) = 12 - 24 + 9
v(2) = -3 m/s

(Negatif işaret ters yönde hareket anlamına gelir)

5.2. Optimizasyon Problemleri

📝 Örnek 13 (ÖSYM Tarzı - Optimizasyon)

Soru: Bir dikdörtgenin çevresi 80 cm'dir. Bu dikdörtgenin alanı en fazla kaç cm² olabilir?

✓ Çözüm:

Kenarlar x ve y olsun.
Çevre: 2(x + y) = 80 → x + y = 40 → y = 40 - x

Alan: A(x) = x·y = x(40 - x) = 40x - x²

Maksimum için A'(x) = 0:
A'(x) = 40 - 2x = 0
x = 20 cm

y = 40 - 20 = 20 cm

Maksimum Alan:
A = 20·20 = 400 cm²

(Kare şeklinde maksimum alan elde edilir)

5.3. İlişkili Değişim Hızı

📝 Örnek 14 (ÖSYM Tarzı)

Soru: Bir küpün kenar uzunluğu 2 cm/s hızla artıyor. Kenar uzunluğu 5 cm iken, hacim kaç cm³/s hızla artar?

✓ Çözüm:

Hacim: V = x³

dV/dt = ? (istenen)
dx/dt = 2 cm/s (verilen)

Zaman türevi alalım:
dV/dt = 3x² · dx/dt

x = 5 cm için:
dV/dt = 3(5)² · 2
dV/dt = 3·25·2
dV/dt = 150 cm³/s

6. ZOR SORU STRATEJİLERİ

💡 Strateji 1: Karışık Türevlerde Adım Adım İlerle

Zincir kuralı gereken durumlarda önce dış, sonra iç fonksiyonu belirle. Her adımı ayrı ayrı yaz.

📝 Örnek 15 (Zor Soru - ÖSYM Tarzı)

Soru: f(x) = e^(sin(x²)) ise f'(x) = ?

✓ Çözüm:

İç içe 3 fonksiyon var:
• En dış: eᵘ
• Orta: sin(v)
• En iç: x²

Adım 1: En dış türevi
(eᵘ)' = eᵘ · u'

Adım 2: Orta türevi (u = sin(x²))
u' = cos(x²) · (x²)'

Adım 3: En iç türevi
(x²)' = 2x

Sonuç:
f'(x) = e^(sin(x²)) · cos(x²) · 2x
f'(x) = 2x·cos(x²)·e^(sin(x²))

📝 Örnek 16 (Zor Soru - ÖSYM Tarzı)

Soru: f(x) = x^x (x > 0) fonksiyonunun türevini bulunuz.

✓ Çözüm:

Değişken hem taban hem üstte. Logaritma alalım:

ln[f(x)] = ln(x^x)
ln[f(x)] = x·ln(x)

İki tarafın türevini alalım:
f'(x)/f(x) = 1·ln(x) + x·(1/x)
f'(x)/f(x) = ln(x) + 1

f'(x) = f(x)[ln(x) + 1]
f'(x) = x^x[ln(x) + 1]
f'(x) = x^x(ln x + 1)

💡 Strateji 2: Logaritmik Türev

Şu durumlarda logaritmik türev kullan:
• Değişken hem üstte hem tabanda (x^x)
• Çarpım ve bölümlerin karmaşık olduğu durumlar
• Üstel fonksiyonlarda taban ve üs değişken

⚠️ Sık Yapılan Hatalar

• Zincir kuralını unutmak (en sık hata!)
• Çarpım kuralında sadece birini türevlemek
• Bölüm kuralında işaretleri karıştırmak
• Kritik noktalarda f(a) değerini hesaplamamak
• Teğet doğrusunda noktayı kullanmamak

7. SINAV İPUÇLARI

🎯 AYT'de Sık Çıkan Türev Soruları

1. Zincir Kuralı: En çok çıkan konu, dikkatli ol!
2. Teğet Doğrusu: Her yıl mutlaka çıkar
3. Artan-Azalan: f'(x) > 0 ve f'(x) < 0 aralıklarını bul
4. Ekstremum: f'(x) = 0 kritik noktaları, işaret değişimi kontrol et
5. Optimizasyon: Problemi fonksiyon haline getir, türev al

Hızlı Hatırlatıcılar

  • Çarpımda: u'v + uv'
  • Bölümde: (u'v - uv')/v²
  • Zincirde: Dış' × İç'
  • Teğette: y - y₀ = m(x - x₀)
  • Artan: f' > 0
  • Maksimum: f' = 0 ve f'' < 0

📚 Mathability Academy - 2026

Bu notlar ÖSYM sınav formatına uygun hazırlanmıştır.

Başarılar dileriz! 🎓