AYT MATEMATİK

Limit ve Süreklilik

📚 Mathability Academy - ÖSYM Tarzı Notlar

1. LİMİT KAVRAMI

1.1. Limit Tanımı

f(x) fonksiyonunda x, a'ya yaklaşırken fonksiyon değerleri L'ye yaklaşıyorsa:

Temel Limit Tanımı

  • lim(x→a) f(x) = L
  • Soldan Limit: lim(x→a⁻) f(x)
  • Sağdan Limit: lim(x→a⁺) f(x)
  • Limit Vardır ⟺ Sol Limit = Sağ Limit

1.2. Temel Limit Kuralları

Limit Özellikleri

  • lim(x→a) [f(x) ± g(x)] = lim(x→a) f(x) ± lim(x→a) g(x)
  • lim(x→a) [k·f(x)] = k·lim(x→a) f(x)
  • lim(x→a) [f(x)·g(x)] = lim(x→a) f(x) · lim(x→a) g(x)
  • lim(x→a) [f(x)/g(x)] = lim(x→a) f(x) / lim(x→a) g(x) [g(x) ≠ 0]
  • lim(x→a) [f(x)]ⁿ = [lim(x→a) f(x)]ⁿ
  • lim(x→a) ⁿ√f(x) = ⁿ√[lim(x→a) f(x)]

1.3. Belirsizlik Durumları

⚠️ 7 Belirsizlik Hali

1. 0/0
2. ∞/∞
3. 0·∞
4. ∞ - ∞
5. 0⁰
6. 1^∞
7. ∞⁰

2. LİMİT ÇÖZÜM YÖNTEMLERİ

2.1. Direkt Yerine Koyma

📝 Örnek 1 (ÖSYM Tarzı)

Soru: lim(x→2) (3x² - 5x + 1) = ?

✓ Çözüm:

x = 2 doğrudan yerine konulabilir:
= 3(2)² - 5(2) + 1
= 3·4 - 10 + 1
= 12 - 10 + 1
= 3

2.2. Sadeleştirme Yöntemi (0/0 Belirsizliği)

Sadeleştirme Teknikleri

  • Çarpanlara Ayırma
  • Ortak Parantez
  • Özdeşlik Kullanımı (a² - b², a³ ± b³)
  • Rasyonel Hale Getirme (Eşlenik)

📝 Örnek 2 (ÖSYM Tarzı - Çarpanlara Ayırma)

Soru: lim(x→3) (x² - 9)/(x - 3) = ?

✓ Çözüm:

Direkt yerine koyarsak: 0/0 (Belirsizlik)

Pay çarpanlara ayrılır:
= lim(x→3) (x - 3)(x + 3)/(x - 3)
= lim(x→3) (x + 3)
= 3 + 3
= 6

📝 Örnek 3 (ÖSYM Tarzı - Eşlenik)

Soru: lim(x→4) (√x - 2)/(x - 4) = ?

✓ Çözüm:

Direkt yerine koyarsak: 0/0 (Belirsizlik)

Eşlenik ile çarpalım:
= lim(x→4) [(√x - 2)(√x + 2)]/[(x - 4)(√x + 2)]
= lim(x→4) (x - 4)/[(x - 4)(√x + 2)]
= lim(x→4) 1/(√x + 2)
= 1/(√4 + 2)
= 1/(2 + 2)
= 1/4

2.3. En Yüksek Dereceye Bölme (∞/∞ Belirsizliği)

📝 Örnek 4 (ÖSYM Tarzı)

Soru: lim(x→∞) (3x² - 5x + 1)/(2x² + 7x - 3) = ?

✓ Çözüm:

Pay ve paydayı x²'ye bölelim:

= lim(x→∞) (3 - 5/x + 1/x²)/(2 + 7/x - 3/x²)

x → ∞ için 1/x → 0 ve 1/x² → 0:
= (3 - 0 + 0)/(2 + 0 - 0)
= 3/2

💡 Önemli Kural

∞/∞ Belirsizliğinde:
• Pay derecesi > Payda derecesi → Limit = ∞
• Pay derecesi = Payda derecesi → Limit = Katsayılar oranı
• Pay derecesi < Payda derecesi → Limit = 0

3. ÖZEL LİMİT KURALLARI

Ezberlenecek Önemli Limitler

  • lim(x→0) sin(x)/x = 1
  • lim(x→0) tan(x)/x = 1
  • lim(x→0) (1 - cos(x))/x² = 1/2
  • lim(x→0) (aˣ - 1)/x = ln(a)
  • lim(x→0) (eˣ - 1)/x = 1
  • lim(x→∞) (1 + 1/x)ˣ = e
  • lim(x→0) (1 + x)^(1/x) = e
  • lim(x→0) ln(1 + x)/x = 1

📝 Örnek 5 (ÖSYM Tarzı - Sinüs Limiti)

Soru: lim(x→0) sin(3x)/x = ?

✓ Çözüm:

Paydayı 3x haline getirmek için 3/3 ile çarpalım:

= lim(x→0) [sin(3x)·3]/(3x)
= 3·lim(x→0) sin(3x)/(3x)
= 3·1
= 3

📝 Örnek 6 (ÖSYM Tarzı - e Limiti)

Soru: lim(x→∞) (1 + 2/x)^(3x) = ?

✓ Çözüm:

(1 + 1/n)ⁿ → e formuna dönüştürelim:

t = x/2 diyelim, x → ∞ iken t → ∞
x = 2t olur:

= lim(t→∞) (1 + 1/t)^(3·2t)
= lim(t→∞) [(1 + 1/t)^t]^6
= e^6

📝 Örnek 7 (ÖSYM Tarzı - Karışık)

Soru: lim(x→0) [sin(2x)·tan(3x)]/x² = ?

✓ Çözüm:

= lim(x→0) [sin(2x)/(x)] · [tan(3x)/(x)]

Her terimi 1 yapacak şekilde düzenleyelim:
= lim(x→0) [sin(2x)·2/(2x)] · [tan(3x)·3/(3x)]
= 2·lim(x→0) sin(2x)/(2x) · 3·lim(x→0) tan(3x)/(3x)
= 2·1 · 3·1
= 6

4. SÜREKLİLİK

4.1. Süreklilik Tanımı

f(x) fonksiyonu x = a noktasında süreklidir ⟺

Süreklilik Şartları

  • 1. f(a) tanımlı olmalı
  • 2. lim(x→a) f(x) var olmalı
  • 3. lim(x→a) f(x) = f(a) olmalı

4.2. Süreksizlik Türleri

Süreksizlik Çeşitleri

1. Kaldırılabilir Süreksizlik: Limit var ama f(a) ≠ lim f(x)
2. Atlama Süreksizliği: Sol limit ≠ Sağ limit
3. Sonsuz Süreksizlik: Limit = ±∞

📝 Örnek 8 (ÖSYM Tarzı)

Soru: f(x) = {(x² - 4)/(x - 2), x ≠ 2; k, x = 2} fonksiyonu x = 2'de sürekli ise k = ?

✓ Çözüm:

Süreklilik için: lim(x→2) f(x) = f(2) = k olmalı

lim(x→2) (x² - 4)/(x - 2) = lim(x→2) (x - 2)(x + 2)/(x - 2)
= lim(x→2) (x + 2)
= 2 + 2
= 4

k = 4

4.3. Sürekli Fonksiyonların Özellikleri

Temel Teoremler

  • Ara Değer Teoremi: f sürekli ve f(a)·f(b) < 0 ise (a,b)'de f(c) = 0 olacak c vardır
  • Max-Min Teoremi: [a,b]'de sürekli fonksiyon maksimum ve minimum değer alır
  • Sürekli fonksiyonların toplamı, farkı, çarpımı ve bölümü (payda ≠ 0) süreklidir

📝 Örnek 9 (ÖSYM Tarzı - Ara Değer)

Soru: f(x) = x³ - 3x + 1 fonksiyonunun (0,1) aralığında kökü var mıdır?

✓ Çözüm:

f(0) = 0³ - 3(0) + 1 = 1
f(1) = 1³ - 3(1) + 1 = -1

f(0)·f(1) = 1·(-1) = -1 < 0

Polinom fonksiyonu her yerde süreklidir.
Ara Değer Teoremi'ne göre (0,1) aralığında f(c) = 0 olacak c vardır.

Cevap: Evet, kökü vardır.

5. ZOR SORU STRATEJİLERİ

💡 Strateji 1: Parçalı Fonksiyonlarda Sol-Sağ Limit

Parçalı fonksiyonlarda her zaman sol ve sağ limiti ayrı ayrı hesapla. Eşit olmalılar ki limit var olsun.

📝 Örnek 10 (Zor Soru - ÖSYM Tarzı)

Soru: lim(x→0) (√(4 + x) - √(4 - x))/x = ?

✓ Çözüm:

Direkt: 0/0 belirsizliği

İki eşlenik de kullanalım:
= lim(x→0) [(√(4+x) - √(4-x))(√(4+x) + √(4-x))]/[x(√(4+x) + √(4-x))]

= lim(x→0) [(4+x) - (4-x)]/[x(√(4+x) + √(4-x))]

= lim(x→0) 2x/[x(√(4+x) + √(4-x))]

= lim(x→0) 2/(√(4+x) + √(4-x))

= 2/(√4 + √4)
= 2/(2 + 2)
= 2/4
= 1/2

📝 Örnek 11 (Zor Soru - ÖSYM Tarzı)

Soru: lim(x→∞) [√(x² + 4x) - x] = ?

✓ Çözüm:

Direkt: ∞ - ∞ belirsizliği

Eşlenik ile çarpalım:
= lim(x→∞) [√(x² + 4x) - x][√(x² + 4x) + x]/[√(x² + 4x) + x]

= lim(x→∞) (x² + 4x - x²)/[√(x² + 4x) + x]

= lim(x→∞) 4x/[√(x² + 4x) + x]

Pay ve paydayı x'e bölelim:
= lim(x→∞) 4/[√(1 + 4/x) + 1]

= 4/(√1 + 1)
= 4/2
= 2

📝 Örnek 12 (Zor Soru - ÖSYM Tarzı)

Soru: lim(x→0) [1 - cos(2x)]/[x·sin(x)] = ?

✓ Çözüm:

1 - cos(2x) = 2sin²(x) özdeşliğini kullanalım:

= lim(x→0) 2sin²(x)/[x·sin(x)]

= lim(x→0) 2sin(x)/x

= 2·lim(x→0) sin(x)/x

= 2·1
= 2

💡 Strateji 2: Trigonometrik Limitlerde Özdeşlikleri Kullan

Önemli Özdeşlikler:
• 1 - cos(x) = 2sin²(x/2)
• sin(2x) = 2sin(x)cos(x)
• cos(2x) = 1 - 2sin²(x) = 2cos²(x) - 1
• tan(x) = sin(x)/cos(x)

6. SINAV İPUÇLARI

🎯 AYT'de Sık Çıkan Soru Tipleri

1. 0/0 Belirsizliği: Çarpanlara ayır veya eşlenik kullan
2. ∞/∞ Belirsizliği: En yüksek dereceye böl
3. ∞ - ∞ Belirsizliği: Eşlenik kullan veya ortak parantez
4. Süreklilik Soruları: Sol limit = Sağ limit = Fonksiyon değeri
5. Özel Limitler: sin(x)/x ve e limitleri ezber olmalı

⚠️ Dikkat Edilmesi Gerekenler

• x → a iken x ≠ a olduğundan sadeleştirme yapılabilir
• Mutlak değerli limitlerdx sol-sağ limit farklı olabilir
• Parçalı fonksiyonlarda her zaman iki tarafı kontrol et
• e limiti sorularında üssü parantezin içindeki ifadeyle eşitle
• Trigonometrik limitleri 1 yapacak şekilde düzenle

📚 Mathability Academy - 2026

Bu notlar ÖSYM sınav formatına uygun hazırlanmıştır.

Başarılar dileriz! 🎓